某校 $n$ 名同学通过选拔进人学校的数学讨论班，在一次讨论班上他们讨论 $A,B$ 和 $C$ 三个问题．已知每位同学都和班里的其他所有同学讨论了其中的一个问题，每两位同学只讨论一个问题．若至少有 $3$ 名同学互相之间讨论的是同一个问题，求 $n$ 的最小值，并给出证明．
解析 $n$ 的最小值是 $17$．将 $n$ 名同学两两讨论问题看作 $n$ 阶完全图，讨论的问题分别为 $A,B,C$ 看作时红蓝绿给边染色，问题即保证图中出现同色三角形的 $n$ 的最小值，拉姆赛问题中证明 $R(3,3,3)=17$．
论证 首先证明 $n=17$ 符合题意．从任何一点出发有 $16$ 条边，其中至少有 $6$ 条同色，不妨设为红色．此时这 $6$ 条红边对应的 $6$ 个点（除公共顶点）中某点出发与其他 $5$ 个点的连线至少有 $3$ 条同色，不妨设为蓝色．此时这 $3$ 条蓝边对应的 $3$ 个点之间若有红边，则构成红色三角形；若有蓝边则构成蓝色三角形；若只有绿边，则构成绿色三角形，符合题意．
构造 然后给出 $n=16$ 的构造．考虑 $4$ 位二进制数集\[G=\{0000,0001,\cdots,1111\},\]其中每个数表示 $1$ 个点，将这些数（除 $0000$ 外）分为 $3$ 组：\[\begin{split}
V_{1}&=\{1100,0011,1001,1110,1000\}, \\
V_{2}&=\{1010,0101,0110,1101,0100\}, \\
V_{3}&=\{0001,0010,0111,1011,1111\},\end{split}\]其中当 $x,y\in G$ 且 $x\ne y$ 时，设 $x$ 与 $y$ 异或运算得到的结果为 $z$，且 $z\in V_k$（$k=1,2,3$），则 $x$ 与 $y$ 构成的边染第 $k$ 种颜色．
综上所述，$n$ 的最小值为 $17$．