每日一题[3244]泛化能力

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义．对任意的 $x_{1},x_{2} \in I$，$t$（$0 \leqslant t \leqslant 1$），不等式

$$f\left((1-t) x_{1}+t x_{2}\right) \leqslant(1-t) f\left(x_{1}\right)+t f\left(x_{2}\right)$$ 总成立．设 $n \geqslant 2$，$1 \leqslant i \leqslant n$，$x_{i} \in I$，$p_{i} \geqslant 0$ 且 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_{i}=1$．证明： $$f\left(\sum_{i=1}^{n} p_{i} x_{i}\right) \leqslant \sum_{i=1}^{n} p_{i} f\left(x_{i}\right).$$

解析    不妨设 $x_1\leqslant x_2\leqslant \cdots \leqslant x_n$，考虑用数学归纳法证明命题，当 $n=2$ 时，取 $(p_1,p_2)=(1-t,t)$ 根据已知即得． 假设命题对 $n=k$ 成立，则对 $n=k+1$ 的情形，设 $p_1+p_2+\cdots+p_k=t$，$p_{k+1}=1-t$．若 $t=0$，则命题显然成立．若 $t\ne 0$，则

$$x_1\leqslant \dfrac{p_1}{t}x_1+\dfrac{p_2}{t}x_2+\cdots+\dfrac{p_k}{t}x_k\leqslant x_k,$$ 因此 $$\begin{split} LHS&=f\left(t\left( \dfrac{p_1}{t}x_1+\dfrac{p_2}{t}x_2+\cdots+\dfrac{p_k}{t}x_k\right)+(1-t)x_{k+1}\right)\\ &\leqslant tf\left( \dfrac{p_1}{t}x_1+\dfrac{p_2}{t}x_2+\cdots+\dfrac{p_k}{t}x_k\right)+(1-t)f(x_{k+1})\\ &\leqslant t\left(\dfrac{p_1}tf(x_1)+\dfrac{p_2}{t}f(x_2)+\cdots+\dfrac{p_k}{t}f(x_k)\right)+(1-t)f(x_{k+1})\\ &=p_1f(x_1)+p_2f(x_2)+\cdots+p_kf(x_k)+p_{k+1}f(x_{k+1})\\ &=RHS,\end{split}$$ 因此命题得证．