每日一题[3243]三板斧

设 $\sin \alpha+\sin \beta=\dfrac{4}{5} \sqrt{2}$，$\cos \alpha+\cos \beta=\dfrac{4}{5} \sqrt{3}$，则 $\tan \alpha+\tan \beta=$ _______．

答案    $\sqrt{6}$．

解析    根据题意，有

$$\tan \alpha+\tan \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos \alpha \cos \beta}=\frac{2 \sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta)},$$ 而将题中条件平方相加减，以及相乘，再利用和差化积公式可得 $$\begin{cases} 2+2\cos(\alpha-\beta)=\dfrac{16}5,\\ 2\cos(\alpha+\beta)+2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\dfrac{16}{25},\\ \sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{16}{25}\sqrt 6,\end{cases}\iff \begin{cases} \cos(\alpha-\beta)=\dfrac 35,\\ \cos(\alpha+\beta)=\dfrac 15,\\ \sin(\alpha+\beta)=\dfrac 25\sqrt 6,\end{cases}$$ 因此所求代数式的值为 $\sqrt 6$．