每日一题[3241]略有起伏

已知 $x y+y z+z x=1$，其中 $x,y,z$ 均为正数，则 $\sqrt{3 x y+1}+\sqrt{3 y z+1}+\sqrt{3 z x+1}$ 的整数部分为_______．

答案     $4$．

解析    根据切割线放缩，有

$$\sqrt{3t+1}\geqslant t+1,\quad t\in [0,1],$$ 于是结合柯西不等式有 $$4=(xy+1)+(yz+1)+(zx+1)<\sqrt{3 x y+1}+\sqrt{3 y z+1}+\sqrt{3 z x+1}\leqslant \sqrt 3\cdot \sqrt{(3xy+1)+(3yz+1)+(3zx+1)}=3\sqrt 2,$$ 因此所求整数部分为 $4$．