每日一题[3239]逐步调整

设数集 $P=\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}\right\}$，它的平均数

$$C_{P}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{m}}{m}.$$ 现将 $S=\{1,2, \cdots, n\}$ 分成两个非空且不相交子集 $A,B$，求 $\mid C_{A}-$ $C_{B} \mid$ 的最大值，并讨论取到最大值时不同的有序数对 $(A, B)$ 的数目．

解析    $\dfrac n2$，$2n-2$．

解析    不妨设 $C_A\leqslant C_B$，此时

$$d(A,B)=|C_A-C_B|=C_B-C_A,$$ 则当 $d(A,B)$ 最大时，集合 $B$ 中的最小数大于集合 $A$ 中的最大数（否则，交换这两个数，则 $C_B$ 变大，而 $C_A$ 变小，从而 $d(A,B)$ 变大，矛盾）．设集合 $A$ 中的最大数为 $k$（$k=1,2,\cdots,n-1$），则 $$d(A,B)=\dfrac{(k+1)+\cdots+n}{n-k}-\dfrac{1+\cdots+k}{k}=\dfrac{n+k+1}{2}-\dfrac{k+1}2=\dfrac n2,$$ 因此 $d(A,B)$ 取得最大值 $\dfrac n2$ 时对应的有序数对 $(A,B)$ 的数目为 $2(n-1)$（需要考虑 $C_A>C_B$ 的情形）．