每日一题[3236]逆流而上

设数列 $a_{n+1}=\left[\dfrac{a_{n}}{2}\right]+\left[\dfrac{a_{n}}{3}\right]$，$n=1,2, \cdots, 7$，这里 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．若 $a_{8}=8$，则正整数 $a_{1}$ 有_______种可能的取值情况．

答案    $7$．

解析    根据题意，设 $a_n=6k+p$，$p\in\mathbb N$ 且 $p<6$，则 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\hline p&0&1&2&3&4&5\\ \hline a_{n+1}&5k&5k&5k+1&5k+2&5k+3&5k+3\\ \hline \end{array}$$ 因此从 $a_8=8$ 倒推，可得 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline n&8&7&6&5&4&3&2&1\\ \hline \min&&10&12&15&18&22&27&33\\ \hline \max&&10&13&17&21&26&32&39\\ \hline\end{array}$$ 其中注意若 $a_7=11$，则 $a_6=14$，这不可能． 综上所述，正整数 $a_1$ 有 $7$ 种可能的取值．