每日一题[3226]估值定位

已知四个整数 $a,b,c,d$ 都是偶数，且 $0<a<b<c<d$，$d-a=90$，若 $a,b,c$ 成等差数列，$b,c,d$ 成等比数列，则 $a+b+c+d=$ _______．

答案    $194$．

解析    根据题意，有 $$\begin{cases} a+c=2b,\\ bd=c^2,\\ d-a=90,\end{cases}\iff \begin{cases} 90b=(4b-a)(b-a),\\ c=2b-a,\\ d=90+a,\end{cases}$$ 由于 $4b-a\equiv b-a\pmod 6$ 且 $6\mid (4b-a)(b-a)$，因此 $6\mid b-a$ 且 $b\mid 4b-a$．又 $3b<4b-a<4b$，于是 $$\dfrac{45}2<b-a=\dfrac{90b}{4b-a}<30,$$ 因此 $b-a=24$，$4b-a=\dfrac{90b}{24}=\dfrac{15b}4$，解得 $a=8$，$b=32$，进而 $$a+b+c+d=a+b+(2b-a)+(90+a)=a+3b+90=194.$$