每日一题[3218]二次偏移

已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac mx-3$ 有两个零点．

1、求 $m$ 的取值范围．

2、设 $a,b$ 为 $f(x)$ 的两个零点，证明：$ab<m{\rm e}^2$．

解析

1、方程 $f(x)=x$ 即

$$m=x(3-\ln x),$$ 设 $g(x)=x(3-\ln x)$，则其导函数 $$g'(x)=2-\ln x,$$ 因此函数 $g(x)$ 在 $\left(0,{\rm e}^2\right)$ 上单调递增，在 $\left({\rm e}^2,+\infty\right)$ 上单调递减，最大值为 $g\left({\rm e}^2\right)={\rm e}^2$．考虑到函数 $g(x)$ 在 $\left(0,{\rm e}^2\right)$ 满足 $g(x)>0$，因此 $0<m<{\rm e}^2$．接下来证明当 $0<m<{\rm e}^2$ 时，方程 $g(x)=m$ 有两个实数解． 一方面，当 $x\in\left(0,1\right)$ 时，有 $$g(x)=3x-x\ln x<3x-x\cdot 2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt x }\right)=x+2\sqrt x<3\sqrt x,$$ 因此取 $x_1=\left(\dfrac m3\right)^2$，则 $g(x_1)<m$； 另一方面，取 $x_2={\rm e}^3$，则 $g(x_2)=0<m$． 综上所述，当 $0<m<{\rm e}^2$ 时，方程 $g(x)=m$ 有两个实数解，从而所求实数 $m$ 的取值范围是 $\left(0,{\rm e}^2\right)$．

2、函数 $g(x)$ 可以改写为

$$g(x)=x\left(1-\ln\dfrac{x}{{\rm e}^2}\right),$$ 考虑函数 $$h(x)=x\left(1-\dfrac{2\left(\dfrac{x}{{\rm e}^2}-1\right)}{\dfrac{x}{{\rm e}^2}+1}\right)=\dfrac{x\left(3{\rm e}^2-x\right)}{x+{\rm e}^2},$$ 则当 $x\in \left(0,{\rm e}^2\right)$ 时，$g(x)>h(x)$；当 $x\in\left({\rm e}^2,+\infty\right)$ 时，$g(x)<h(x)$．因此设关于 $x$ 的方程 $h(x)=m$ 的实数解分别为 $a',b'$，不妨设 $a<b$，$a'<b'$，则有 $$0<a<a'<{\rm e}^2<b<b'<{\rm e}^3,$$ 而 $$h(x)=m\iff x^2+\left(m-3{\rm e}^2\right)x-m{\rm e}^2=0,$$ 因此 $$ab<a'b'=m{\rm e}^2,$$ 原命题得证．