每日一题[3211]排雷作业

工兵用信号探测器，探测边长为 $2$ 千米的等边三角形区域内的地雷，已知探测器的有效作业距离为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 千米．从三角形的一个顶点出发，工兵至少需要行走多少距离才能完成探测任务？（要求说明理由）

解析    如图，设等边三角形区域为 $\triangle ABC$，$AB=BC=CA=2$，分别作圆心在 $B,C$，半径为 $r=\dfrac{\sqrt 3}2$ 的圆弧，与 $\triangle ABC$ 的边分别交于 $B_1,B_2,C_1,C_2$，则为了完成探测任务，工兵的作业路径至少需要包含弧 $B_1B_2$ 和弧 $C_1C_2$ 上各一点．设 $M$ 为弧 $C_1C_2$ 的中点，$BM$ 交弧 $B_1B_2$ 于点 $N$，$M_1,N_1$ 分别为弧 $C_1C_2,B_1B_2$ 上一点，以 $A,B$ 为焦点作过点 $M$ 的椭圆，易得弧 $C_1C_2$ 与椭圆切于点 $M$，其余各点在该椭圆外部．

这样就有工兵的作业路径长 $$l\geqslant |AM_1|+|M_1N_1|\geqslant |AM_1|+|M_1B|-|BN_1|\geqslant |AM|+|MB|-r,$$ 等号当且仅当 $M_1=M$，$N_1=N$ 时取得．经过计算，可得 $|AM|=|MB|=\dfrac{\sqrt 7}2$，因此 $l\geqslant \sqrt 7-\dfrac{\sqrt 3}2$． 接下来证明工兵作业路径为 $A\to M\to N$ 的折线段时符合要求．如图，分别以 $M,A,N$ 为圆心，$r$ 为半径作圆，则 $\triangle ABC$ 未被圆 $M$ 覆盖的两个角落分别被圆 $A,N$ 覆盖，符合题意．

综上所述，工兵至少需要行走 $\sqrt 7-\dfrac{\sqrt 3}2$ 千米才能完成探测任务．