每日一题[3210]导数原型

已知函数 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数，$f^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，若 $x^2 f^{\prime}(x)+x f(x)={\rm e}^{\frac{1}{2} x}$，且 $f(2)=\dfrac{\rm e}{2}$，则下列结论正确的是（       ）

A．函数 $f(x)$ 在定义域上有极小值

B．函数 $f(x)$ 在定义域上单调递增

C．函数 $H(x)=xf(x)-{\rm e}\ln x$ 在 $(0,2)$ 上单调递减

D．不等式 $f(x)>\dfrac{{\rm e}^{\frac{1}{2} x}+{\rm e}}{4}$ 的解集为 $(2,+\infty)$

答案    BC．

解析    根据题意，有 $$\big(xf(x)\big)'=\dfrac{{\rm e}^{\frac 12x}}{x},$$ 设 $g(x)=xf(x)$，则 $g(2)={\rm e}$，此时 $f(x)=\dfrac{g(x)}{x}$，其导函数 $$f'(x)=\dfrac{xg'(x)-g(x)}{x^2}=\dfrac{{\rm e}^{\frac 12x}- g(x)}{x^2},$$ 设 $r(x)={\rm e}^{\frac 12x}-g(x)$，则其导函数 $$r'(x)=\dfrac 12{\rm e}^{\frac 12x}-\dfrac {{\rm e}^{\frac 12x}}x=\dfrac{(x-2){\rm e}^{\frac 12x}}{2x},$$ 因此函数 $r(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递减，在 $(2,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=2$ 处取得极小值 $0$，从而 $f(x)$ 在定义域上单调递增，选项 $\boxed{A}$ 错误，选项 $\boxed{B}$ 正确．

对于选项 $\boxed{C}$，有 $$H'(x)=g'(x)-\dfrac{\rm e}x=\dfrac{{\rm e}^{\frac 12x}-{\rm e}}{x},$$ 因此选项正确．

对于选项 $\boxed{D}$，设 $p(x)=4xf(x)-x{\rm e}^{\frac 12x}-{\rm e}x$，则题中不等式即 $p(x)>0$．函数 $p(x)$ 的导函数 $$p'(x)=\dfrac{4{\rm e}^{\frac 12x}}{x}-{\rm e}^{\frac 12x}\left(1+\dfrac 12x\right)-{\rm e}={\rm e}^{\frac 12x}\cdot \dfrac{8-2x-x^2}{2x}-{\rm e},$$ 因此当 $x\in (2,+\infty)$ 时，有 $p'(x)<-{\rm e}<0$，从而 $p(x)$ 单调递减，而 $p(2)=0$，因此在该区间上有 $p(x)<0$，因此选项错误．

综上所述，正确的结论为选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．