每日一题[3198]循环嵌套

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，且满足 $$f(x)-2 x f\left(\frac{1}{x}\right)+x^2=0,$$ 则 $f(x)$ 的最小值为_______．

答案    $1$．

解析    根据题意，有 $$\begin{cases} f(x)-2xf\left(\dfrac 1x\right)+x^2=0,\\ f\left(\dfrac 1x\right)-\dfrac 2xf(x)+\dfrac1{x^2}=0,\end{cases}\iff \begin{cases} f(x)=\dfrac{2+x^3}{3x},\\ f\left(\dfrac 1x\right)=\dfrac{1+2x^3}{3x^2},\end{cases}$$ 从而有 $$f(x)=\dfrac1{3x}+\dfrac1{3x}+\dfrac{x^2}3\geqslant 3\sqrt[3]{\dfrac1{3x}\cdot \dfrac1{3x}\cdot \dfrac{x^2}3}=1,$$ 等号当 $x=1$ 时取得，因此所求 $f(x)$ 的最小值为 $1$．