每日一题[3197]变换主元

设 $f(x)=m x^2+(2 n+1) x-m-2$（$m, n \in \mathbb{R}$，$m \neq 0$）在 $[3,4]$ 上至少有一个零点，则 $m^2+n^2$ 的最小值是______．

答案    $\dfrac{1}{100}$．

解析    根据题意，有 $$(x^2-1)\cdot m+2x\cdot n+(x-2)=0,\quad x\in[3,4],m\ne 0,$$ 将其看成 $mOn$ 平面上的含参 $x$ 的直线 $l$ 的方程，设 $P(m,n)$ 是 $l$ 上的动点，则 $$m^2+n^2=|OP|^2\geqslant d^2(O,l)=\dfrac{(x-2)^2}{(x^2-1)^2+(2x)^2}=\left(\dfrac{x-2}{x^2+1}\right)^2,$$ 其中 $x\in[3,4]$．分式函数 $y=\dfrac{0x^2+x-2}{x^2+0x+1}$ 的判别式 $$\Delta=-x^2+4x+1,$$ 因此该函数在 $[3,4]$ 上单调递增，从而在该区间上的最小值为 $\dfrac{1}{10}$，所以所求最小值为 $\dfrac{1}{100}$．