每日一题[3195]极值分析

函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-a \ln (a x-a)+a$（$a>0$），若 $f(x)>0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

答案   $(0,{\rm e}^2$．

解析    根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x-\dfrac{a}{x-1},$$ 是 $x\in(0,+\infty)$ 上的单调递增函数，考虑到当 $x\to 1^+1$ 时，$f'(x)\to +\infty$；当 $x\to +\infty$ 时，$f'(x)\to +\infty$，所以函数 $f'(x)$ 在 $x\in (0,+\infty)$ 上有唯一零点，设为 $x_0$，则 $${\rm e}^{x_0}=\dfrac{a}{x_0-1}\iff a={\rm e}^{x_0}(x_0-1),$$ 且函数 $f(x)$ 的极小值，也为最小值为 $$\begin{split} f(x_0) &={\rm e}^{x_0}-a\ln (ax_0-a)+a\\ &={\rm e}^{x_0}-{\rm e}^{x_0}(x_0-1)\left(2\ln(x_0-1)+x_0\right)+{\rm e}^{x_0}(x_0-1)\\ &=-{\rm e}^{x_0}\big(x_0^2-2x_0+2(x_0-1)\ln(x_0-1)\big),\end{split}$$ 设 $g(x)=-{\rm e}^x\big(x^2-2x+2(x-1)\ln(x-1)\big)$，则其导函数 $$g'(x)=-{\rm e}^xx\big(x+2\ln(x-1)\big),$$ 因此函数 $g'(x)$ 有唯一零点 $m$，函数 $g(x)$ 在 $x\in(1,m)$ 上单调递增，在 $x\in (m,+\infty)$ 单调递减，又当 $x\to 1^+$ 时，有 $g(x)\to {\rm e}$；又 $g(2)=0$，因此 $f(x_0)\geqslant 0$ 即 $1<x_0\leqslant 2$，所以实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,{\rm e}^2\right)$．