每日一题[3191]拆解

已知正整数数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：对任意的正整数 $m,k$，都有 $a_{m^2}=a_m^2$，且 $a_{m^2+k^2}=a_m a_k$，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．

答案    $a_n=1$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．

解析    在 $a_{m^2}=a_m^2$ 中，令 $m=1$，可得 $a_1=1$．在 $a_{m^2+k^2}=a_ma_k$ 中令 $m=k=1$，可得 $a_2=1$．下面用数学归纳法证明 $a_n=1$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）． 当 $n=1,2$ 时，命题成立． 假设当 $n<k$（$k\geqslant 3$）时命题成立，根据题意，若 $m^2+k^2=p^2$，则

$$a_{p^2}=a_ma_k\implies a_p^2=a_ma_k.$$

情形一    $k$ 为偶数．设 $k=2t$，则

$$(2t)^2+(t^2-1)^2=(t^2+1)^2\implies a_{t^2+1}=a_{2t}a_{t^2-1},$$ 而 $a_{t^2+1}=a_ta_1=1$，从而有 $$a_{2t}=a_{t^2-1}=1.$$

情形二     $k$ 为奇数．设 $k=2t+1$，则

$$(2t+1)^2=4t^2+4t+1=(2t^2+2t+1)^2-(2t^2+2t)^2,$$ 因此 $$a_{2t^2+2t+1}^2=a_{2t+1}a_{2t^2+2t},$$ 而 $$a_{2t^2+2t+1}=a_{t^2+(t+1)^2}=a_ta_{t+1}=1,$$ 从而有 $$a_{2t+1}=a_{2t^2+2t}=1.$$

综上所述，有 $a_n=1$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．