每日一题[3187]三角换元

已知实数 $x,y$ 满足 $x|x|+\dfrac{y|y|}{3}=1$，则 $|\sqrt{3} x+y-4|$ 的取值范围是_______．

答案    $\left[4-\sqrt 6,4\right)$．

解析    题意即已知 $x,y$ 满足 $x|x|+y|y|=1$，求 $\left|\sqrt 3 x+\sqrt 3y-4\right|$ 的取值范围，先求 $z=x+y$ 的取值范围． 不妨设 $x\geqslant y$．

当 $x\geqslant y\geqslant 0$ 时，有 $x^2+y^2=1$，设 $x=\cos\theta$，$y=\sin\theta$，$\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$，则 $$z=\cos\theta+\sin\theta=\sqrt 2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}4\right),$$ 其取值范围是 $\left[1,\sqrt 2\right]$．

当 $x\geqslant 0> y$ 时，有 $x^2-y^2=1$，设 $x=\dfrac{1}{\cos\theta}$，$y=-\tan\theta$，$\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则 $$z=\dfrac1{\cos\theta}0-\tan\theta=\dfrac{1-\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\left(\dfrac{\pi}4-\dfrac {\theta}2\right),$$ 其取值范围是 $(0,1)$．

综上所述，$z=x+y$ 的取值范围是 $\left(0,\sqrt 2\right]$，因此 $\left|\sqrt 3 x+\sqrt 3y-4\right|=\left|\sqrt 3z-4\right|$ $的取值范围是$ \left[4-\sqrt 6，4\right）$．

备注    也可以利用规划处理，画出 $x|x|+y|y|=1$ 的曲线（由两段双曲线与一段椭圆组成）．．