每日一题[3184]盗梦空间

已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格单调递淢，对任意 $x \in(0,+\infty)$，均有 $$f(x) \cdot f\left(f(x)+\dfrac{2}{x}\right)=\dfrac{1}{3},$$ 记 $g(x)=f(x)+4 x^2$，则函数 $g(x)$ 的最小值是_______．

答案    $3$．

解析    根据题意，有 $$f\left(f(x)+\dfrac 2x\right)=\dfrac1{3f(x)},$$ 而 $$f\left(f(x)+\dfrac 2x\right)\cdot f\left(f\left(f(x)+\dfrac 2x\right)+\dfrac 2{f(x)+\dfrac 2x}\right)=\dfrac 13,$$ 即 $$\dfrac{1}{3f(x)}\cdot f\left(\dfrac{1}{3f(x)}+\dfrac 2{f(x)+\dfrac 2x}\right)=\dfrac13\iff f\left(\dfrac{1}{3f(x)}+\dfrac 2{f(x)+\dfrac 2x}\right)=f(x),$$ 根据函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，从而 $$\dfrac{1}{3f(x)}+\dfrac 2{f(x)+\dfrac 2x}=x\iff f(x)=\dfrac 1x~\text{或}~f(x)=-\dfrac{2}{3x},$$ 其中 $f(x)=-\dfrac2{3x}$ 为 $(0,+\infty)$ 上的单调递增函数，舍去．因此 $$g(x)=\dfrac1x+4x^2=\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}+4x^2\geqslant 3\sqrt[3]{\dfrac1{2x}\cdot \dfrac1{2x}\cdot 4x^2}=3,$$ 等号当 $x=\dfrac 12$ 时取得，因此所求函数 $g(x)$ 的最小值为 $3$．