每日一题[3183]分解合并

设 $x,y,z$ 为正实数，满足 $x y z=1$，证明：$\sqrt{1+8 x}+\sqrt{1+8 y}+\sqrt{1+8 z} \geqslant 9$．

解析    设 $(a,b,c)=\left(\sqrt{1+8x},\sqrt{1+8y},\sqrt{1+8z}\right)$，则

$$\begin{split}1 &=\dfrac{a^2-1}8\cdot \dfrac{b^2-1}8\cdot\dfrac{c^2-1}8\\ &=\dfrac{(a-1)(b-1)(c-1)\cdot (a+1)(b+1)(c+1)}{64}\\ &\leqslant \dfrac{\left(\dfrac{a+b+c-3}3\right)^3\cdot \left(\dfrac{a+b+c+3}3\right)^3}{64},\end{split}$$ 从而可得 $$a+b+c\geqslant 9,$$ 命题得证．