每日一题[3179]凸包讨论

边长为 $1$ 的正四面体在平面上的投影面积的最大值为_______．

答案   $\dfrac12$．

解析    设正四面体 $ABCD$ 的四个顶点 $A,B,C,D$ 在平面上的投影分别为 $A',B',C',D'$．

情形一     $A',B',C',D'$ 的凸包为三角形．此时投影就是正四面体某个平面的投影，其面积最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}4$．

情形二     $A',B',C',D'$ 的凸包为四边形，不妨设为 $A'B'C'D$，则其面积 $$S=\dfrac 12\cdot |A'C'|\cdot |B'D'|\cdot \langle A'C',B'D'\rangle \leqslant \dfrac 12\cdot |AC|\cdot |BD|=\dfrac 12,$$ 当投影平面与 $AC,BD$ 同时平行时取得等号．

综上所述，投影面积的最大值为 $\dfrac 12$．