每日一题[3167]分段处理

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-a x \sin x-b x+c$ 的图象与 $x$ 轴相切于原点．

1、求 $b, c$ 的值．

2、若 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上有唯一零点，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x-a\sin x-ax\cos x-b,$$ 由其图象与 $x$ 轴相切于原点，有 $$\begin{cases} f(0)=0,\\ f'(0)=0,\end{cases}\iff \begin{cases} 1+c=0,\\ 1-b=0,\end{cases}\iff \begin{cases} b=1,\\ c=-1.\end{cases}$$

2、根据题意，有 $f'(x)={\rm e}^x-a(\sin x+x\cos x)-1$，于是 $$f''(x)={\rm e}^x-a(2\cos x-x\sin x),$$ 从而 $f''(0)=1-2a$，讨论分界点为 $a=\dfrac 12$．

情形一     $a\leqslant \dfrac 12$．

当 $a\leqslant 0$ 时，在 $x\in (0,\pi)$ 上，有 $$f(x)={\rm e}^x-ax\sin x-x\geqslant {\rm e}^x-x\geqslant 1,$$ 函数 $f(x)$ 没有零点，不符合题意．

当 $0<a\leqslant \dfrac 12$ 时，在 $x\in (0,\pi)$ 上，有 $$f'(x)={\rm e}^x-2a\cos x+ax\sin x\geqslant {\rm e}^x-2a\cos x>1-2a>0,$$ 因此 $f(x)$ 单调递增，结合 $f(0)=0$，不符合题意．

情形二     $a>\dfrac 12$．此时在 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上，有 $f''(x)$ 单调递增，而 $$f''(0)=1-2a<0,\quad f''\left(\dfrac{\pi}2\right)={\rm e}^{\frac{\pi}2}+\dfrac{\pi}2a>0,$$ 从而 $f''(x)$ 在该区间上有唯一零点，设为 $x_0$，而当 $x\in\left(\dfrac{\pi}2,\pi\right)$ 时，有 $$f''(x)\geqslant {\rm e}^x-2a\cos x>0,$$ 因此 $f'(x)$ 在 $(0,x_0)$ 上单调递减，在 $\left(x_0,\pi\right)$ 上单调递增，结合 $$f'(0)=0,\quad f'(\pi)={\rm e}^x+a\pi>0,$$ 从而 $f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 上先单调递减再单调递增，又 $$f(0)=0,\quad f(\pi)={\rm e}^{\pi}-\pi>0,$$ 因此 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上有唯一零点，符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$．