每日一题[3166]不联立与联立

设 $F$ 是双曲线 $\Gamma: x^2-y^2=1$ 的左焦点，经过 $F$ 的直线与 $\Gamma$ 相 交于 $M,N$ 两点．

1、若 $M,N$ 都在双曲线的左支上，求 $\triangle O M N$ 面积的最小值．

2、$x$ 轴上是否存在一点 $P$，使得 $\overrightarrow{P M} \cdot \overrightarrow{P N}$ 为定值？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

解析

1、设直线 $MN$ 的倾斜角为 $\theta$，不妨设 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right]$，则根据焦点弦长公式，有 $\triangle OMN$ 的面积

$$S(\theta)=\dfrac 12\cdot |OF|\cdot |MN|\cdot \sin\theta=\dfrac{\sqrt 2\sin\theta}{2\sin^2\theta-1},$$ 这是关于 $\theta$ 的单调递减函数，因此其最小值为 $S\left(\dfrac{\pi}2\right)=\sqrt 2$．

2、设 $P(m,0)$，$F(-c,0)$，$MN:~x=ty-c$，$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则联立直线 $MN$ 的方程与椭圆方程，可得

$$\begin{cases} x=ty-c,\\ x^2-y^2=1,\end{cases}\implies (t^2-1)y^2-2tcy+c^2-1=0,$$ 因此 $$\begin{split} \overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}&=(x_1-m)(x_2-m)+y_1y_2\\ &=(ty_1-m-c)(ty_2-m-c)+y_1y_2\\ &=(t^2+1)y_1y_2-t(m+c)(y_1+y_2)+(m+c)^2\\ &=(t^2+1)\cdot \dfrac{c^2-1}{t^2-1}-t(m+c)\cdot \dfrac{2tc}{t^2-1}+(m+c)^2\\ &=\dfrac{\big((c^2-1)-2c(m+c)\big)t^2+c^2-1}{t^2-1}+(m+c)^2,\end{split}$$ 因此当 $$(c^2-1)-2c(m+c)\big)t^2+c^2-1=-(c^2-1)\iff m=-\dfrac 1c$$ 时，$\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}$ 为定值 $-(c^2-1)+\left(-\dfrac 1c+c\right)^2$．也即 $P$ 点坐标为 $\left(-\dfrac{\sqrt 2}2,0\right)$，此时 $\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}$ 为定值 $-\dfrac 12$．