每日一题[3164]三六九等

若存在实数 $a$ 及正整数 $n$ 便得 $f(x)=\cos 2 x-a \sin x$ 在 $(0, n \pi)$ 内恰有 $2022$ 个零点，则满足条件的正整数 $n$ 的值有_______个．

答案    $5$．

解析    令 $t=\sin x$，则方程 $f(x)=0$ 即

$$2at^2+at-1=0\iff a=\dfrac 1t-2t,$$ 按 $t$ 与 $0,-1,1$ 的大小关系讨论，因此有 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline a&(-\infty,-1)&-1&(-1,1)&1&(1+\infty)\\ \hline t=1&0&1&0&0&0 \\ \hline t\in(0,1)&0&0&1&1&1 \\ \hline t\in(-1,0)&1&1&1&0&0 \\ \hline t=-1&0&0&0&1&0 \\ \hline n&2022,2023&1348&1001&1348&2021,2022\\ \hline\end{array}$$ 因此满足条件的正整数 $n$ 的值有 $5$ 个．