每日一题[3161]面目狰狞

已知 $x,y,z$ 均为正实数，且满足 $x^{\lg x} y^{\lg y} z^{\lg z}=5$，$x^{\lg (y x)} y^{\lg (z x)} z^{\lg (x y)}=2$，则 $x y z=$ _______．

答案    $10^{\pm 1}$．

解析  记 $\left(\lg x,\lg y,\lg z\right)=(a,b,c)$，则

$$\begin{cases} x^{\lg x} y^{\lg y} z^{\lg z}=5,\\ x^{\lg y x} y^{\lg z x} z^{\lg x y}=2,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2+b^2+c^2=\lg 5,\\ a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=\lg2,\end{cases}$$ 两式相加，有 $$(a+b+c)^2=1\implies a+b+c=\pm 1,$$ 于是 $$xyz=10^{a+b+c}=10^{\pm 1}.$$