每日一题[3156]三角与几何

$\triangle A B C$ 中，$\angle A$ 是钝角，$\angle B=20^{\circ}$，作 $A D \perp A B$ 交 $B C$ 于 $D$．已知 $A B=1$，$C D=4$，则 $\triangle A B C$ 的面积 $S=$ _______．

答案    $\dfrac{\sqrt 3}2$．

解析    根据题意，有

$$\begin{split} S&=\dfrac 12\cdot |BC|\cdot d(A,BC)\\ &=\dfrac 12\cdot \left(\dfrac{1}{\cos20^\circ}+4\right)\cdot \sin 20^\circ\\ &=\dfrac{\sin20^\circ+4\sin20^\circ\cos20^\circ}{2\cos20^\circ}\\ &=\dfrac{\sin20^\circ+2\sin40^\circ}{2\cos20^\circ}\\ &=\dfrac{\cos10^\circ+\sin40^\circ}{2\cos20^\circ}\\ &=\dfrac{\sqrt 3}2,\end{split}$$ 其中用到了两次和差化积公式．

另法    如图，延长 $BA$ 到 $E$，作边长为 $2$ 的正 $\triangle BEF$，$EF$ 与 $BC$ 交于点 $N$，设 $M$ 为 $CD$ 的中点，则 $DM=MC=2$，连接 $DE,ME,MF,CF$．

由于 $AD$ 是 $BE$ 的垂直平分线，于是 $\angle AED=20^\circ$，从而

$$\angle NDE=\angle NED=40^\circ\implies ND=NE,$$ 进而由 $EF=DM=2$，可得 $NF=NM$，因此 $DE\parallel MF$，进而 $$\angle MDF=\angle MFD=70^\circ,$$ 可得 $MF=MD=MC=2$，因此 $$\dfrac{BD}{MC}=\dfrac{DE}{MF}=\dfrac{DN}{NM}=\dfrac{EN}{NF}\implies \dfrac{BN}{NC}=\dfrac{EN}{NF},$$ 因此 $BE\parallel FC$，从而 $$S=\dfrac 12\cdot AB\cdot d(C,AB)=\dfrac 12\cdot AB\cdot d(F,AB)=\dfrac 12[\triangle BEF]=\dfrac12\cdot \dfrac{\sqrt 3}4\cdot 2^2=\dfrac{\sqrt 3}2.$$