每日一题[3143]垂足坐标

已知双曲线 $C_{1}:~ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}=\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$b>0$）与抛物线 $C_{2}:~ y^{2}=2 p x$（$p>0$）有公共焦点 $F$，过点 $F$ 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点 $A$，延长 $F A$ 与拋物线 $C_{2}$ 相交于点 $B$，若 点 $A$ 为线段 $F B$ 的中点，双曲线 $C_{1}$ 的离心率为 $e$，则 $e^{2}=$ （       ）

A．$\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$

B．$\dfrac{\sqrt{5}+\dfrac{1}{2}}{2 }$

C．$\dfrac{\sqrt{5}+1}{3}$

D．$\dfrac{\sqrt{5}+2}{3}$

答案    B．

解析    由于双曲线与抛物线共焦点，于是双曲线的半焦距

$$c=\dfrac p2,$$ 又双曲线的焦点到渐近线的距离为 $b$，从而 $A\left(\dfrac{a^2}c,\dfrac{ab}c\right)$．由 $A$ 是西线段 $FB$ 的中点可得 $B\left(\dfrac{2a^2}c-c,\dfrac{2ab}c\right)$，因此 $$\left(\dfrac{2a^2}c-c\right)+\dfrac p2=2b\iff a^2=bc\iff a^4=(c^2-a^2)c^2,$$ 从而 $$e^2(e^2-1)=1\iff e^2=\dfrac{\sqrt 5+1}2.$$