每日一题[3140]双曲线与圆

已知 $F_1, F_2$ 分别是双曲线 $C:~ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点，点 $P$ 在双曲线上，$P F_1 \perp P F_2$，圆 $O: x^2+y^2=\dfrac{9}{4}(a^2+b^2)$，直线 $P F_1$ 与圆 $O$ 相交于 $A, B$ 两点，直线 $P F_2$ 与圆 $O$ 相交于 $M, N$ 两点．若四边形 $A M B N$ 的面积为 $9 b^2$，则 $C$ 的离心率为（        ）

A．$\dfrac{5}{4}$

B．$\dfrac{8}{5}$

C．$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

D．$\dfrac{2 \sqrt{10}}{5}$

答案    D．

解析    记双曲线的半焦距为 $c$，则圆 $O$ 的半径为 $\dfrac 32c$，设 $O$ 到直线 $PF_1,PF_2$ 的距离分别为 $m,n$，由 $PF_1\perp PF_2$ 可得 $|PO|=c$，于是

$$m^2+n^2=|PO|^2=c^2,$$ 根据焦点三角形面积公式，有 $$2mn=b^2,$$ 又四边形 $AMBN$ 的面积为 $9b^2$，于是 $$2\cdot \sqrt{\dfrac 94c^2-m^2}\cdot \sqrt{\dfrac 94c^2-n^2}=9b^2,$$ 即 $$\sqrt{81c^4-36c^2\left(m^2+n^2\right)+16m^2n^2}=18b^2,$$ 也即 $$\sqrt{81c^4-36c^4+4b^4}=18b^2\iff 3c^2=8b^2,$$ 因此双曲线 $c$ 的离心率 $e=\sqrt{\dfrac{c^2}{c^2-b^2}}=\dfrac{2\sqrt{10}}5$．