每日一题[3139]量子纠缠

已知 $a>0$，$\mathrm{e}^a+\ln b=1$，则（       ）

A．$a+\ln b<0$

B．$\mathrm{e}^a+b>2$

C．$\ln a+\mathrm{e}^b<0$

D．$a+b>1$

答案    ABD．

解析对于选项 $\boxed{A}$，有

$$a+\ln b=a+1-{\rm e}^a<0,$$ 选项正确．

对于选项 $\boxed{B}$，有

$${\rm e}^a+b=1-\ln b+b>2,$$ 选项正确．

对于选项 $\boxed{C}$，取 $a={\rm e}$，$b={\rm e}^{1-{\rm e}^{\rm e}}$，则

$$\ln a+{\rm e}^b>\ln a>0,$$ 选项错误．

对于选项 $\boxed{D}$，由 $\ln b=1-{\rm e}^a<0$ 可得 $0<b<1$，而

$$a+b=\ln(1-\ln b)+b,$$ 设 $f(x)=\ln(1-x)+{\rm e}^x$，则其导数 $$f'(x)={\rm e}^x-\dfrac{1}{1-x}<0,$$ 因此 $f(x)$ 单调递减，当 $x<0$ 时，有 $$f(x)>f(0)=1,$$ 选项正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．