已知函数 f(x) 是定义在 R 上的可导函数,其导函数为 f′(x).若对任意 x∈R 有 f′(x)>1,f(1+x)+f(1−x)=0,且 f(0)=−2,则不等式 f(x−1)>x−1 的解集为( )
A.(0,+∞)
B.(1,+∞)
C.(2,+∞)
D.(3,+∞)
答案 D.
解析 设 g(x)=f(x)−x,则 g(x) 在 R 上单调递增,且g(1+x)+g(1−x)=f(1+x)−(1+x)+f(1−x)−(1−x)=−2,
因此 g(x) 关于 (1,−1) 对称,且由 f(0)=−2 可得 g(0)=−2,所以g(2)=−2−g(0)=0,
从而f(x−1)>x−1⟺g(x−1)>0⟺g(x−1)>g(2)⟺x−1>2⟺x>3.