每日一题[3138]导数原型

已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的可导函数，其导函数为 $f^{\prime}(x)$．若对任意 $x \in \mathbb{R}$ 有 $f^{\prime}(x)>1$，$f(1+x)+f(1-x)=0$，且 $f(0)=-2$，则不等式 $f(x-1)>x-1$ 的解集为（       ）

A．$(0,+\infty)$

B．$(1,+\infty)$

C．$(2,+\infty)$

D．$(3,+\infty)$

答案     D．

解析    设 $g(x)=f(x)-x$，则 $g(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，且

$$g(1+x)+g(1-x)=f(1+x)-(1+x)+f(1-x)-(1-x)=-2,$$ 因此 $g(x)$ 关于 $(1,-1)$ 对称，且由 $f(0)=-2$ 可得 $g(0)=-2$，所以 $$g(2)=-2-g(0)=0,$$ 从而 $$f(x-1)>x-1\iff g(x-1)>0\iff g(x-1)>g(2)\iff x-1>2\iff x>3.$$