每日一题[3138]导数原型

已知函数 f(x) 是定义在 R 上的可导函数,其导函数为 f(x).若对任意 xRf(x)>1f(1+x)+f(1x)=0,且 f(0)=2,则不等式 f(x1)>x1 的解集为(       )

A.(0,+)

B.(1,+)

C.(2,+)

D.(3,+)

答案     D.

解析    设 g(x)=f(x)x,则 g(x)R 上单调递增,且g(1+x)+g(1x)=f(1+x)(1+x)+f(1x)(1x)=2,

因此 g(x) 关于 (1,1) 对称,且由 f(0)=2 可得 g(0)=2,所以g(2)=2g(0)=0,
从而f(x1)>x1g(x1)>0g(x1)>g(2)x1>2x>3.

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