每日一题[3133]数列差分

设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1=1$，且 $2 S_n=a_{n+1}-1$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$）．若对任意的正整数 $n$，都有 $a_1 b_n+a_2 b_{n-1}+a_3 b_{n-2}+\cdots+a_n b_1=3^n-n-1$ 成立，则满足等式 $b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n=a_n$ 的正整数 $n$ 的可能取值个数为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．$4$

答案    B．

解析  根据题意，有

$$\begin{cases} 2a_1=a_2-1,\\ 2a_n=a_{n+1}-a_n,~n\geqslant 2,\end{cases}\implies a_n=3^{n-1},~n\in\mathbb N^{\ast},$$ 根据题意，有 $$\begin{cases} b_n+3b_{n-1}+\cdots+3^{n-1}b_1=3^n-n-1,\\ b_{n+1}+3b_n+\cdots+3^{n-1}b_2+3^nb_1=3^{n+1}-n-2,\end{cases}$$ 于是 $$b_{n+1}=(3^{n+1}-n-2)-3(3^n-n-1)=2n+1,$$ 从而方程 $$b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n=a_n\iff n^2=3^{n-1},$$ 验证 $n=1,2,3$ 的情形，可得 $n=1,3$ 是方程的解．当 $n\geqslant 4$ 时，有 $$3^{n-1}=(1+2)^{n-1}>1+2(n-1)+4\cdot \dfrac{(n-1)(n-2)}2=3-4n+2n^2=n^2+n(n-4)+3>n^2,$$ 因此所求取值个数为 $2$．