每日一题[3129]李普希兹条件

1定义：对于定义在区间 $I$ 上的函数 $f(x)$ 和正数 $\alpha$（$0<\alpha \leqslant 1$），若存在正数 $M$，使得不等式 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leqslant M\left|x_{1}-x_{2}\right|^{\alpha}$ 对任意 $x_{1}, x_{2} \in I$ 恒成立，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上满足 $\alpha$ 阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（       ）

A．函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上满足 $\dfrac{1}{2}$ 阶李普希兹条件

B．若函数 $f(x)=x \ln x$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上满足一阶李普希兹条件，则 $M$ 的最小值为 $2$

C．若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上满足 $M=k$（$0<k<1$）的一阶李普希兹条件，且方程 $f(x)=x$ 在区间 $[a, b]$ 上有解 $x_{0}$，则 $x_{0}$ 是方程 $f(x)=x$ 在区间 $[a, b]$ 上的唯一解

D．若函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上满足 $M=1$ 的一阶李普希兹条件，且 $f(0)=f(1)$，则存在满足条件的函数 $f(x)$，存在 $x_{1}, x_{2} \in[0,1]$，使得 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=\dfrac{2}{3}$

答案    ABC．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，当 $x_1>x_2\geqslant 1$ 且 $\alpha=\dfrac 12$ 时，有 $$\dfrac{|f(x_1)-f(x_2)|}{|x_1-x_2|^{\alpha}}=\dfrac{\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}}{\sqrt{x_1-x_2}}=\dfrac{\sqrt t-1}{\sqrt{t-1}}=\sqrt{1-\dfrac{2}{\sqrt t+1}}<1,$$ 其中 $t=\dfrac{x_1}{x_2}$．因此存在正数 $M=1$ 符合李普希兹条件，选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，当 $1\leqslant x_2<x_1\leqslant {\rm e}$ 且 $\alpha=1$ 时，有 $$\dfrac{|f(x_1)-f(x_2)|}{|x_1-x_2|^{\alpha}}=\dfrac{x_1\ln x_1-x_2\ln x_2}{x_1-x_2},$$ 该式不大于 $M$ 等价于函数 $g(x)=x\ln x-Mx$ 在 $[1,{\rm e}]$ 上单调递减，而 $$g'(x)=\ln x-(M-1),$$ 因此 $M$ 的最小值为 $2$，选项正确；

对于选项 $\boxed{C}$，若 $f(x)=x$ 在区间 $[a,b]$ 上有两解 $x_1,x_2$，则 $$\dfrac{|f(x_1)-f(x_2)|}{|x_1-x_2|}=1>k,$$ 与函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上满足 $M=k$（$0<k<1$）的一阶李普希兹条件矛盾，选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，不妨设 $x_1>x_2$．若 $x_1-x_2\leqslant \dfrac 12$，则 $$|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant |x_1-x_2|\leqslant \dfrac 12.$$ 若 $x_1-x_2>\dfrac 12$，则 $$|f(x_1)-f(x_2)|=|f(x_1)-f(0)+f(1)-f(x_2)|\leqslant |f(x_1)-f(0)|+|f(1)-f(x_2)|\leqslant |x_1-0|+|1-x_2|=1-(x_1-x_2)<\dfrac 12,$$ 因此选项错误．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．