每日一题[3119]勘探地形

已知函数 $f(x)=a x {\rm e}^x-a x+a-{\rm e}^x$（$a>0$），若有且仅有两个整数 $x_i$（$i=1,2$），满足 $f\left(x_i\right)<0$，则实数 $a$ 的取值范围为_______．

答案    $\left[\dfrac{{\rm e}^2}{2{\rm e}^2-1}, 1\right)$．

解析    函数 $f(x)=a\left(x{\rm e}^x-x+1\right)-{\rm e}^x$，由于 $$x{\rm e}^x-x+1=x\left({\rm e}^x-1\right)+1\geqslant 1,$$ 于是 $$f(x)<0\iff \dfrac 1a>x-(x-1){\rm e}^{-x},$$ 设 $g(x)=x-(x-1){\rm e}^{-x}$，则其导函数 $$g'(x)=1+{\rm e}^{-x}(-2+x),$$ 其二阶导函数 $$g''(x)={\rm e}^{-x}(3-x),$$ 因此当 $x\in(-\infty,2)$ 时，$g'(x)$ 单调递增，结合 $g'(0)=-1$，$g'(1)=1-{\rm e}^{-1}>0$，可得 $g'(x)$ 在 $(0,1)$ 上有唯一零点 $x_0$；当 $x\in [2,+\infty)$ 时，有 $g'(x)>0$；因此函数 $g(x)$ 在 $(-\infty,x_0)$ 上单调递减，在 $(x_0,+\infty)$ 上单调递增．而 $$\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline x&-1&0&1&2\\ \hline g(x)&-1+2{\rm e}&1&1&2-{\rm e}^{-2}\\ \hline\end{array}$$ 因此 $\dfrac 1a$ 的取值范围是 $\left(1,2-{\rm e}^{-2}\right]$，从而实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{{\rm e}^2}{2{\rm e}^2-1}, 1\right)$．