每日一题[3085]端点分析

已知函数 $f(x)=a x-\dfrac{\sin x}{\cos ^{2} x}$，$x \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$． 当 $a=1$ 时，

1、讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $f(x)+\sin x<0$，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、若 $a=1$，则 $$\begin{split} f'(x)&=1-\dfrac{\cos x\cdot \cos^2x-2 \cos x\cdot (-\sin x)\cdot \sin x}{\cos^4x}\\ &=\dfrac{\cos^3x+\cos^2x-2}{\cos^3x}\\ &=\dfrac{\left((\cos x+1)^2+1\right)\cdot (\cos^2x-1)}{\cos^3x}\\ &<0,\end{split}$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递减．

2、设 $g(x)=f(x)+\sin x$，则 $g(0)=0$，其导函数 $$g'(x)=a+\dfrac{\cos ^2x-2}{\cos^3x}+\cos x=a+\cos x+\dfrac{1}{\cos x}-\dfrac{2}{\cos^3x},$$ 设 $h(x)=a+x+\dfrac 1x-\dfrac{2}{x^3}$，则 $h(1)=a$ 且 $g'(x)=h(\cos x)$．

情形一    $a>0$．当 $x\in\left(\sqrt[3]{\dfrac{2}{a+2}},1\right)$ 时，有 $$h(x)>a+x+\dfrac 1x-(a+2)>0,$$ 也即 $g(x)$ 在 $x\in\left(0,\arccos\sqrt[3]{\dfrac{2}{a+2}}\right)$ 上单调递增，不符合题意．

情形二     $a\leqslant 0$．由于 $h(x)$ 的导函数 $$h'(x)=1-\dfrac1{x^2}+\dfrac{6}{x^4}=\dfrac{x^4-x^2+6}{x^4},$$ 于是 $h(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，结合 $h(1)\leqslant 0$ 可得在 $x\in [0,1]$ 上 $h(x)\leqslant 0$，因此函数 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递减，符合题意．

综上所述，$a$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．