每日一题[3078]解直角三角形

已知在 $\triangle ABC$ 中，$A+B=3C$，$2\sin (A-C)=\sin B$．

1、求 $\sin A$．

2、设 $AB=5$，求 $AB$ 边上的高．

解析

1、根据题意，有

$$A+B=3C\iff A+B+C=4C\iff C=\dfrac{\pi}4,$$ 因此 $$2\sin(A-C)=\sin B\iff 2\sin\left(A-\dfrac{\pi}4\right)=\sin\left(\dfrac{3\pi}4-A\right),$$ 注意到左右两角互余，因此 $$2\sin\left(A-\dfrac{\pi}4\right)=\cos\left(A-\dfrac{\pi}4\right)\iff \tan\left(A-\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac 12\iff \dfrac{\tan A-1}{1+\tan A}=\dfrac 12,$$ 解得 $\tan A=3$，从而 $\sin A=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$．

2、如图，作 $BH\perp AC$ 于 $H$，$CN\perp AB$ 于 $N$，则 $AB$ 边上的高即 $CN$．

由 $AB=5$，$\sin A=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$，可得 $BH=\dfrac{15}{\sqrt{10}}$，于是

$$AC=AH+HC=\dfrac13BH+BH=\dfrac 43BH=\dfrac{20}{\sqrt{10}},$$ 进而 $$CN=AC\cdot \sin A=\dfrac{20}{\sqrt{10}}\cdot \dfrac{3}{\sqrt{10}}=6.$$