每日一题[3076]误码与冗余

在信道内传输 $0,1$ 信号，信号的传输相互独立．发送 $0$ 时，收到 $1$ 的概率为 $\alpha$（$0<\alpha<1$），收到 $0$ 的概率为 $1-\alpha$；发送 $1$ 时，收到 $0$ 的概率为 $\beta$（$0<\beta<1$），收到 $1$ 的概率为 $1-\beta$．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送 $1$ 次，三次传输是指每个信号重复发送 $3$ 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到 $1,0,1$，则译码为 $1$）．则下列说法正确的有（       ）

A．采用单次传输方案，若依次发送 $1,0,1$，则依次收到 $1,0,1$ 的概率为 $(1-\alpha)(1-\beta)^2$

B．采用三次传输方案，若发送 $1$，则依次收到 $1,0,1$ 的概率为 $\beta(1-\beta)^2$

C．采用三次传输方案，若发送 $1$，则译码为 $1$ 的概率为 $\beta(1-\beta)^2+(1-\beta)^3$

D．当 $0<\alpha<0.5$ 时，若发送 $0$，则采用三次传输方案译码为 $0$ 的概率大于采用单次传输方案译码为 $0$ 的概率

答案    ABD．

解析    根据题意，发送 $0,1$ 的误收率分别为 $\alpha,\beta$．

对于选项 $\boxed{A}$，单次传输方案下，每次传输均不出错的概率为 $(1-\alpha)(1-\beta)^2$，选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，依次收到 $1,0,1$ 的概率为 $(1-\beta)\cdot \beta\cdot (1-\beta)=\beta(1-\beta)^2$，选项正确；

对于选项 $\boxed{C}$，译码为 $1$ 则收到 $1$ 的次数为 $2$ 或 $3$，根据二项分布，可得所求概率为 $$\dbinom 32\beta(1-\beta)^2+\dbinom 33(1-\beta)^3=3\beta(1-\beta)^2+(1-\beta)^3,$$ 选项错误；

对于选项 $\boxed{D}$，三次传输方案中译码为 $0$ 的概率 $$p_1=3\alpha(1-\alpha)^2+(1-\alpha)^3,$$ 单次传输方案中译码为 $0$ 的概率 $p_2=1-\alpha$，因此 $$p_1-p_2=\alpha(1-\alpha)(1-2\alpha)>0,$$ 选项正确．

综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$ 正确．