每日一题[3073]两次求和

甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 $0.6$，乙每次投篮的命中率均为 $0.8$．由抽签确定第 $1$ 次投篮的人选，第 $1$ 次投篮的人是甲、乙的概率各为 $0.5$．

1、求第 $2$ 次投篮的人是乙的概率．

2、求第 $i$ 次投篮的人是甲的概率．

3、已知：若随机变量 $X_i$ 服从两点分布，且 $P(X_i=1)=1-P(X_i=0)=q_i$，$i=1,2,\cdots,n$，则 $\displaystyle E\left(\sum\limits_{i=1}^n{X_i}\right)=\sum\limits_{i=1}^n{q_i}$．记前 $n$ 次（即从第 $1$ 次到第 $n$ 次投篮）中甲投篮的次数为 $Y$，求 $E(Y)$．

解析

1、前两次投篮的人为甲乙、乙乙的概率分别为 $0.5\cdot (1-0.6),0.5\cdot 0.8$，因此所求概率为

$$0.5\cdot (1-0.6)+0.5\cdot 0.8=0.2+0.4=0.6.$$

2、设第 $i$ 次投篮的人是甲的概率为 $p_i$，则第 $i+1$ 次投篮为甲的概率

$$p_{i+1}=p_i\cdot 0.6+(1-p_i)\cdot (1-0.8)=0.4p_i+0.2,$$ 因此 $$p_{i+1}-\dfrac 13=\dfrac 25\left(p_i-\dfrac 13\right)\iff p_i=\dfrac 16\left(\dfrac 25\right)^{i-1}+\dfrac 13.$$

3、根据第 $(2)$ 小题的结果，有

$$\begin{split} E(Y)&=\sum_{i=1}^np_i\\ &=\dfrac 16\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac 25\right)^n}{1-\dfrac 25}+\dfrac 13n\\ &=\dfrac{6n+5}{18}-\dfrac 19\left(\dfrac 25\right)^{n-1}.\end{split}$$

备注    用 $1$ 表示甲投球，$0$ 表示乙投球，用

$$p(a_1,a_2,\cdots,a_i,\cdots,a_n),\quad a_i\in\{0,1\},i=1,2,\cdots,n$$ 表示 $n$ 次投球结果依次为 $a_1,a_2,\cdots,a_i,\cdots,a_n$ 的概率，则 $$\begin{split} E(Y)&=\sum(a_1+a_2+\cdots+a_n)p(a_1,a_2,\cdots,a_n)\\ &=\sum_{k=1}^n\left(a_k\sum p(a_1,a_2,\cdots,a_n)\right)\\ &=\sum_{k=1}^np_k,\end{split}$$ 以下略．