每日一题[3066]导数原型

已知偶函数 $f(x)$ 与其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathbb{R}$，且 $f^{\prime}(x)+\mathrm{e}^{-x}+x$ 也是偶函数，若 $f(2 a-1)<f(a+1)$，则实数 $a$ 的取值范围是（       ）

A．$(-\infty, 2)$

B．$(0,2)$

C．$(2,+\infty)$

D．$(-\infty, 0) \cup(2,+\infty)$

答案    B．

解析    根据题意，有 $$f'(x)+{\rm e}^{-x}+x=f'(-x)+{\rm e}^x-x,$$ 而偶函数 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ 为奇函数，因此 $f'(-x)=-f'(x)$，进而 $$f'(x)=\dfrac{{\rm e}^x-{\rm e}^{-x}}2-x,$$ 其导函数 $$f''(x)=\dfrac12\left({\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\right)\geqslant 0,$$ 因此 $f'(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的单调递增函数，结合 $f'(0)=0$，可得 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，从而 $$f(2a-1)<f(a+1)\iff |2a-1|<|a+1|\iff 0<a<2,$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $(0,2)$．