每日一题[3063]构造与论证

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，凸四边形 $A B C D$ 的 $4$ 个顶点均在抛物线 $E: y^2=2 x$ 上，则（       ）

A．四边形 $A B C D$ 不可能为平行四边形

B．存在四边形 $A B C D$，满足 $\angle A=\angle C$

C．若 $A B$ 过抛物线 $E$ 的焦点 $F$，则直线 $O A, O B$ 斜率之积恒为 $-2$

D．若 $\triangle OAC$ 为正三角形，则该三角形的面积为 $12\sqrt 3$

答案    ABD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，容易证明抛物线平行的两条弦的弦长不相等，因此四边形 $ABCD$ 不可能为平行四边形，选项 $\boxed{A}$ 正确．

对于选项 $\boxed{B}$，以 $(2,-2)$ 为顶点作与抛物线 $E$ 全等的抛物线 $E':(x-2)^2=2(y+2)$，这两条抛物线交于四点 $A,B,C,D$，如图．此时四边形 $ABCD$ 关于 $BD$ 对称（两条抛物线关于直线 $BD$ 对称），因此 $\angle A=\angle C$，选项 $\boxed{B}$ 正确．

对于选项 $\boxed{C}$，设 $A(2a^2,2a)$，$B(2b^2,2b)$，则根据抛物线的平均性质，有

$$2ab=-\dfrac 12\iff \dfrac 1a\cdot \dfrac 1b=-4,$$ 因此直线 $OA,OB$ 的斜率之积恒为 $-4$，选项 $\boxed{C}$ 错误．

对于选项 $\boxed{D}$，容易证明，若直线 $OA$ 与 $OC$ 的斜率之和不为 $0$，那么 $|OA|\ne |OC|$，因此 $A,C$ 关于 $x$ 轴对称，设 $A(2t^2,2t)$，$C(2t^2,-2t)$，$t>0$，则

$$\dfrac{2t}{2t^2}=\dfrac{\sqrt 3}3\implies t=\sqrt 3,$$ 因此 $A\left(6,2\sqrt 3\right)$，$\triangle OAC$ 边长为 $4\sqrt 3$，其面积为 $12\sqrt 3$，选项 $\boxed{D}$ 正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．