在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $C_1:~ x^{2}=2 p y$ 的焦点与椭圆 $C_2:~ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ 的右焦点关于直线 $y=x$ 对称．
1、求 $C_1$ 的标准方程．
2、若直线 $l$ 与 $C_{1}$ 相切，且与 $C_{2}$ 相交于 $A, B$ 两点．求 $\triangle A O B$ 面积的最大值．
解析
1、椭圆 $C_2$ 的右焦点为 $(1,0)$，于是抛物线 $ C_1 $ 的焦点为 $(0,1)$，因此 $ C_1 $ 的标准方程为 $ x^2=4y$．
2、由于直线 $l$ 与 $C_1$ 相切，设切点为 $(2t,t^2) $，则 $l:~2tx=2(y+t^2)$，即 $l:~y=tx-t^2$．将直线 $l$ 与椭圆 $C_2$ 的方程联立可得\[(3+4t^2)x^2-8t^3x+(4t^4-12)=0,\]对应判别式\[\Delta=(-8t^3)^2-4\cdot (3+t^2)(4t^4-12)=48(3+4t^2-t^4),\]因此 $\triangle AOB$ 的面积\[\begin{split} S(t)&=\dfrac 12\cdot \sqrt{1+t^2}\cdot \dfrac{\sqrt{48(3+4t^2-t^4)}}{3+4t^2}\cdot \dfrac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}\\ &=2\sqrt 3\cdot \dfrac{\sqrt{(3+4t^2-t^4)t^4}}{3+4t^2}\\ &\leqslant 2\sqrt 3\cdot \dfrac{\dfrac{(3+4t^2-t^4)+t^4}2}{3+4t^2}\\ &=\sqrt 3,\end{split}\]等号当 $3+4t^2-t^4=t^4$ 即 $t=\pm\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{10}}2}$ 时取得，因此所求面积的最大值为 $\sqrt 3$．