在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C1: x2=2py 的焦点与椭圆 C2: x24+y23=1 的右焦点关于直线 y=x 对称.
1、求 C1 的标准方程.
2、若直线 l 与 C1 相切,且与 C2 相交于 A,B 两点.求 △AOB 面积的最大值.
解析
1、椭圆 C2 的右焦点为 (1,0),于是抛物线 C1 的焦点为 (0,1),因此 C1 的标准方程为 x2=4y.
2、由于直线 l 与 C1 相切,设切点为 (2t,t2),则 l: 2tx=2(y+t2),即 l: y=tx−t2.将直线 l 与椭圆 C2 的方程联立可得(3+4t2)x2−8t3x+(4t4−12)=0,对应判别式Δ=(−8t3)2−4⋅(3+t2)(4t4−12)=48(3+4t2−t4),因此 △AOB 的面积S(t)=12⋅√1+t2⋅√48(3+4t2−t4)3+4t2⋅t2√1+t2=2√3⋅√(3+4t2−t4)t43+4t2⩽2√3⋅(3+4t2−t4)+t423+4t2=√3,等号当 3+4t2−t4=t4 即 t=±√2+√102 时取得,因此所求面积的最大值为 √3.