每日一题[3057]切线截弦

在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C1: x2=2py 的焦点与椭圆 C2: x24+y23=1 的右焦点关于直线 y=x 对称.

1、求 C1 的标准方程.

2、若直线 lC1 相切,且与 C2 相交于 A,B 两点.求 AOB 面积的最大值.

解析

1、椭圆 C2 的右焦点为 (1,0),于是抛物线 C1 的焦点为 (0,1),因此 C1 的标准方程为 x2=4y

2、由于直线 lC1 相切,设切点为 (2t,t2),则 l: 2tx=2(y+t2),即 l: y=txt2.将直线 l 与椭圆 C2 的方程联立可得(3+4t2)x28t3x+(4t412)=0,对应判别式Δ=(8t3)24(3+t2)(4t412)=48(3+4t2t4),因此 AOB 的面积S(t)=121+t248(3+4t2t4)3+4t2t21+t2=23(3+4t2t4)t43+4t223(3+4t2t4)+t423+4t2=3,等号当 3+4t2t4=t4t=±2+102 时取得,因此所求面积的最大值为 3

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