每日一题[3048]双曲线焦点三角形的内切圆

已知 $F_1, F_2$ 分别为双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$ 的左、右焦点，过 $F_2$ 且倾斜角为 $\theta$ 的直线与双曲线的右支交于 $A, B$ 两点，记 $\triangle A F_1 F_2$ 的内切圆 $O_1$ 的半 径为 $r_1, \triangle B F_1 F_2$ 的内切圆 $O_2$ 的半径为 $r_2$，圆 $O_1$ 的面积为 $S_1$，圆 $O_2$ 的面积为 $S_2$，则（       ）

A．$\theta$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5 \pi}{6}\right)$

B．直线 $O_1 O_2$ 与 $x$ 轴垂直

C．若 $r_1+r_2=2$，则 $|AB|=6$

D．$S_1+S_2$ 的取值范围是 $\left[2 \pi, \dfrac{10 \pi}{3}\right)$

答案    BCD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，$\theta$ 的取值范围在两条渐近线的倾斜角之间，为 $\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{2\pi}3\right)$，选项 $\boxed{A}$ 错误．

对于选项 $\boxed{B}$，根据双曲线的焦点三角形性质，其内心在实轴所在直线上的投影为实轴顶点，因此 $O_1,O_2$ 在 $x$ 轴上的投影均为 $A(1,0)$，选项 $\boxed{B}$ 正确．

对于选项 $\boxed{C}$，根据选项 $\boxed{B}$ 的结论，有\[r_1=|AF_2|\cdot \tan\dfrac{\pi-\theta}2,\quad r_2=|AF_2|\cdot \tan\dfrac{\theta}2,\]因此 $r_1r_2=1$，若 $r_1+r_2=2$，则 $r_1=r_2=1$，此时 $\theta$ 为直角，根据双曲线的通径长公式，有 $|AB|=6$，选项 $\boxed{C}$ 正确．

对于选项 $\boxed{D}$，有 $r_1,r_2$ 的取值范围均为 $\left(\dfrac{\sqrt 3}3,\sqrt 3\right)$，因此\[S_1+S_2=\pi(r_1^2+r_2^2)=\pi\left(r_1^2+\dfrac{1}{r_1^2}\right),\]其取值范围是 $\left[2\pi,\dfrac{10\pi}3\right)$，选项 $\boxed{D}$ 正确．

综上所述，正确的是 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．