每日一题[3045]两种定义

设双曲线 $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$）的左右两个焦点分别为 $F_1,F_2$，$P$ 是双曲线上任意一点，过 $F_1$ 的直线与 $\angle F_1PF_2$ 的平分线垂直，垂足为 $Q$，则点 $Q$ 的轨迹 $E$ 的方程为_______；$M$ 在曲线 $E$ 上，点 $A(8,0)$，$B(5,6)$，则 $\dfrac12|AM|+|BM|$ 的最小值为_______．

答案    $x^2+y^2=16$；$3\sqrt 5$．

解析    连接 $PF_2$ 交 $F_1Q$ 于 $R$，则 $Q$ 点平分 $F_1H$，连接 $OQ$，则 $$|OQ|=\dfrac 12|F_2R|=\dfrac {|PR|-|PF_2|}2=\dfrac{|PF_1|-|PF_2|}2=4,$$ 从而点 $Q$ 的轨迹方程为 $x^2+y^2=16$． 根据阿波罗尼斯圆的定义，取 $N(2,0)$，则 $$\dfrac 12|AM|+|BM|=|NM|+|BM|\geqslant |BN|=3\sqrt 5,$$ 等号当 $N,M,B$ 顺次共线时取得，因此所求最小值为 $3\sqrt 5$．