已知拋物线 E:y2=4x 的焦点为 F,过定点 (2,0) 的直线与抛物线交于 A,B 两点,AF 与 E 的 另一个交点为 C,BF 与 E 的另一个交点为 D,则 |AC|+2|BD| 的最小值为_______.
答案 6+3√6.
解析 设 A,B,C,D 的坐标分别为 (4t2k,4tk)(t=1,2,3,4),则根据抛物线的平均性质,有t1t2=−12,t1t3=t2t4=−14.设直线 AC,BD 的倾斜角分别为 α,β,从而1tanα=t1+t3=t1−14t1,1tanβ=t2+t4=−12t1+t12.记 t1=t,则由抛物线的焦半径公式,可得|AC|+2|BD|=4sin2α+8sin2β=12+4tan2α+8tan2β=12+4(t2+116t2−12)+8(t24+14t2−12)=6+6t2+94t2⩾6+3√6,等号当 t2=38 时取得,因此所求最小值为 6+3√6.