每日一题[3044]参数计算

已知拋物线 $E: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$，过定点 $(2,0)$ 的直线与抛物线交于 $A, B$ 两点，$A F$ 与 $E$ 的 另一个交点为 $C$，$B F$ 与 $E$ 的另一个交点为 $D$，则 $|A C|+2|B D|$ 的最小值为_______．

答案    $6+3 \sqrt{6}$．

解析    设 $A,B,C,D$ 的坐标分别为 $\left(4t_k^2,4t_k\right)$（$t=1,2,3,4$），则根据抛物线的平均性质，有

$$t_1t_2=-\dfrac 12,\quad t_1t_3=t_2t_4=-\dfrac14.$$ 设直线 $AC,BD$ 的倾斜角分别为 $\alpha,\beta$，从而 $$\dfrac{1}{\tan\alpha}=t_1+t_3=t_1-\dfrac{1}{4t_1},\quad \dfrac{1}{\tan\beta}=t_2+t_4=-\dfrac{1}{2t_1}+\dfrac{t_1}2.$$ 记 $t_1=t$，则由抛物线的焦半径公式，可得 $$\begin{split} |AC|+2|BD|&=\dfrac{4}{\sin^2\alpha}+\dfrac{8}{\sin^2\beta}\\ &=12+\dfrac{4}{\tan^2\alpha}+\dfrac{8}{\tan^2\beta}\\ &=12+4\left(t^2+\dfrac{1}{16t^2}-\dfrac 12\right)+8\left(\dfrac{t^2}4+\dfrac{1}{4t^2}-\dfrac 12\right)\\ &=6+6t^2+\dfrac{9}{4t^2}\\ &\geqslant 6+3\sqrt{6},\end{split}$$ 等号当 $t^2=\dfrac{3}{8}$ 时取得，因此所求最小值为 $6+3\sqrt 6$．