每日一题[3044]参数计算

已知拋物线 E:y2=4x 的焦点为 F,过定点 (2,0) 的直线与抛物线交于 A,B 两点,AFE 的 另一个交点为 CBFE 的另一个交点为 D,则 |AC|+2|BD| 的最小值为_______.

答案    6+36

解析    设 A,B,C,D 的坐标分别为 (4t2k,4tk)t=1,2,3,4),则根据抛物线的平均性质,有t1t2=12,t1t3=t2t4=14.设直线 AC,BD 的倾斜角分别为 α,β,从而1tanα=t1+t3=t114t1,1tanβ=t2+t4=12t1+t12.t1=t,则由抛物线的焦半径公式,可得|AC|+2|BD|=4sin2α+8sin2β=12+4tan2α+8tan2β=12+4(t2+116t212)+8(t24+14t212)=6+6t2+94t26+36,等号当 t2=38 时取得,因此所求最小值为 6+36.    

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