每日一题[3040]增强命题

已知函数 f(x)=cosx+txx(0,π2)

1、若方程 f(x)=0(0,π2) 有解,证明:t(23,0)

2、若函数 f(x) 有两个不同的零点 x1,x2,证明:π2<x1+x2<2π3

解析

1、方程 f(x)=0t=xcosx,设右侧函数为 g(x),则其导函数为g(x)=cosxxsinx,(0,π2) 上的单调递减函数,考虑到 g(0)=1g(π2)=π2,因此 g(x)(0,π2) 上有唯一零点,记为 x0,有x0(0,x0)x0(x0,π2)π2g(x)0↗极大值↘0其中 cosx0x0sinx0=0,进而极大值M=g(x0)=x0cosx0<x0(π2x0)π216<23,命题得证.

2、根据第 (1) 小题的结果,不妨设 0<x1<x0<x2<π2,且 π4<x0<π3,于是π2<x1+x2<2π3{x1>π2x2,x2<2x0x1,由于 x1,π2x2 都在 g(x) 的单调递增区间 (0,π4) 上,x2,2x0x1 都在 g(x) 单调递减区间 (x0,π) 上,因此欲证结论即{g(x2)>g(π2x2),g(x1)>g(2x0x1),只需要证明函数h1(x)=g(π4x)g(π4+x)x(0,π4) 上恒负,且h2(x)=g(x0x)g(x0+x)x(0,x0) 上恒正.设 r(x)=g(tx)g(t+x),则有r(x)=(tx)cos(tx)(t+x)cos(t+x)=2tsintsinx2xcostcosx,r(x)=g(tx)g(t+x)=cos(tx)cos(t+x)+(tx)sin(tx)+(t+x)sin(t+x)=2costcosx+2tsintcosx+2xcostsinx=2(tsintcost)cosx+2costxsinx.t=π4 时,在 x(0,π4) 上,有h1(x)=π24cosx(tanx4πx)<0,其中 y=4πxy=tanx(0,0)(π4,1) 确定的割线(也可以求导证明). 当 t=x0 时,有h2(x)=2cosx0xsinx>0,h2(0)=0,因此在区间 (0,x0) 上,有 h2(x)>0. 综上所述,命题得证.

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