已知函数 f(x)=cosx+tx,x∈(0,π2).
1、若方程 f(x)=0 在 (0,π2) 有解,证明:t∈(−23,0).
2、若函数 f(x) 有两个不同的零点 x1,x2,证明:π2<x1+x2<2π3.
解析
1、方程 f(x)=0 即−t=xcosx,设右侧函数为 g(x),则其导函数为g′(x)=cosx−xsinx,为 (0,π2) 上的单调递减函数,考虑到 g′(0)=1,g′(π2)=−π2,因此 g′(x) 在 (0,π2) 上有唯一零点,记为 x0,有x0(0,x0)x0(x0,π2)π2g(x)0极大值
0其中 cosx0−x0sinx0=0,进而极大值M=g(x0)=x0cosx0<x0(π2−x0)⩽π216<23,命题得证.
2、根据第 (1) 小题的结果,不妨设 0<x1<x0<x2<π2,且 π4<x0<π3,于是π2<x1+x2<2π3⟸{x1>π2−x2,x2<2x0−x1,由于 x1,π2−x2 都在 g(x) 的单调递增区间 (0,π4) 上,x2,2x0−x1 都在 g(x) 单调递减区间 (x0,π) 上,因此欲证结论即{g(x2)>g(π2−x2),g(x1)>g(2x0−x1),只需要证明函数h1(x)=g(π4−x)−g(π4+x)在 x∈(0,π4) 上恒负,且h2(x)=g(x0−x)−g(x0+x)在 x∈(0,x0) 上恒正.设 r(x)=g(t−x)−g(t+x),则有r(x)=(t−x)cos(t−x)−(t+x)cos(t+x)=2tsintsinx−2xcostcosx,且r′(x)=−g′(t−x)−g′(t+x)=−cos(t−x)−cos(t+x)+(t−x)sin(t−x)+(t+x)sin(t+x)=−2costcosx+2tsintcosx+2xcostsinx=2(tsint−cost)⋅cosx+2cost⋅xsinx.当 t=π4 时,在 x∈(0,π4) 上,有h1(x)=π√24cosx(tanx−4πx)<0,其中 y=4πx 是 y=tanx 在 (0,0) 和 (π4,1) 确定的割线(也可以求导证明). 当 t=x0 时,有h′2(x)=2cosx0⋅xsinx>0,而 h2(0)=0,因此在区间 (0,x0) 上,有 h2(x)>0. 综上所述,命题得证.