每日一题[3028]螺旋升天

已知 $y=f(x)$ 是 $\mathbb N^{\ast}\to \mathbb N^{\ast}$ 的函数且 $f(3)<f(1)<f(2)$，若对任意 $n \in \mathbb N^{\ast}$，均有 $$f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(f(f(n)))=4 n+3 ,$$ 则 $f(2022)=$ [[nn]]．已知 $y=f(x)$ 是 $\mathbb N^{\ast}\to \mathbb N^{\ast}$ 的函数且 $f(3)<f(1)<f(2)$，若对任意 $n \in \mathbb N^{\ast}$，均有 $$f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(f(f(n)))=4 n+3 ,$$ 则 $f(2022)=$ _______．

答案    $2020$．

解析    由 $f(3)<f(1)<f(2)$，可得 $f(3)\geqslant 1$，$f(1)\geqslant 2$，$f(2)\geqslant 3$，而 $$f(1)+f(2)+f(3)+f(f(f(1)))=7,$$ 于是 $$f(3)=1,f(1)=2,f(2)=3,f(f(f(1)))=1,$$ 猜测 $$f(n)=\begin{cases} n+1,&3\nmid n,\\ n-2,&3\mid n,\end{cases}$$ 则 $$\begin{cases} f(n)+f(n+1)+f(n+2)=3n+3,\\ f(f(f(n)))=n,\end{cases}$$ 符合题意．由第二数学归纳法不难证明该通项公式，因此 $f(2022)=2022-2=2020$．