在 $\triangle A B C$ 中，设角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，$B C$ 边上的高为 $h$，且 $b+c=a+h$．
1、若 $h=\dfrac{2}{3} a$，且 $k \sin A-\cos A=1$，求实数 $k$ 的值．
2、求 $\tan A$ 的最小值．
解析
1、若 $h=\dfrac 23a$，则\[\sin A=\dfrac{ah}{bc}=\dfrac{2a^2}{3bc},\]而\[1+\cos A=1+\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{(b+c)^2-a^2}{2bc}=\dfrac{\left(\dfrac {5a}3\right)^2-a^2}{2bc}=\dfrac{8a^2}{9bc},\]因此\[k=\dfrac{1+\cos A}{\sin A}=\dfrac 43.\]
2、设 $\triangle ABC$ 的半周长为 $p$，根据海伦公式，有\[b+c=a+h\iff\dfrac 12ah=\dfrac 12(b+c-a)a\iff \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=(p-a)a,\]即\[\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}=\dfrac ap\iff \tan\dfrac A2=\dfrac ap,\]进而\[\tan\dfrac B2\tan\dfrac C2=\sqrt{\dfrac{(p-c)(p-a)}{p(p-b)}}\cdot\sqrt{\dfrac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}=\dfrac{p-a}{p}=1-\tan\dfrac A2,\]又\[\tan\dfrac A2\left(\tan\dfrac B2+\tan\dfrac C2\right)+\tan\dfrac B2\tan\dfrac C2=1,\]从而\[\tan\dfrac B2+\tan\dfrac C2=1,\]因此\[\tan \dfrac A2=1-\tan\dfrac B2\tan\dfrac C2\geqslant 1-\left(\dfrac{\tan\dfrac B2+\tan\dfrac C2}2\right)^2=\dfrac 34,\]等号当 $B=C$ 时取得，因此 $\tan A$ 的最小值为\[\tan\left(2\arctan\dfrac 34\right)=\dfrac{24}7.\]