在 △ABC 中,设角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,BC 边上的高为 h,且 b+c=a+h.
1、若 h=23a,且 ksinA−cosA=1,求实数 k 的值.
2、求 tanA 的最小值.
解析
1、若 h=23a,则sinA=ahbc=2a23bc,而1+cosA=1+b2+c2−a22bc=(b+c)2−a22bc=(5a3)2−a22bc=8a29bc,因此k=1+cosAsinA=43.
2、设 △ABC 的半周长为 p,根据海伦公式,有b+c=a+h⟺12ah=12(b+c−a)a⟺√p(p−a)(p−b)(p−c)=(p−a)a,即√(p−b)(p−c)p(p−a)=ap⟺tanA2=ap,进而tanB2tanC2=√(p−c)(p−a)p(p−b)⋅√(p−a)(p−b)p(p−c)=p−ap=1−tanA2,又tanA2(tanB2+tanC2)+tanB2tanC2=1,从而tanB2+tanC2=1,因此tanA2=1−tanB2tanC2⩾1−(tanB2+tanC22)2=34,等号当 B=C 时取得,因此 tanA 的最小值为tan(2arctan34)=247.