每日一题[3026]半角定理

ABC 中,设角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,cBC 边上的高为 h,且 b+c=a+h

1、若 h=23a,且 ksinAcosA=1,求实数 k 的值.

2、求 tanA 的最小值.

解析

1、若 h=23a,则sinA=ahbc=2a23bc,1+cosA=1+b2+c2a22bc=(b+c)2a22bc=(5a3)2a22bc=8a29bc,因此k=1+cosAsinA=43.

2、设 ABC 的半周长为 p,根据海伦公式,有b+c=a+h12ah=12(b+ca)ap(pa)(pb)(pc)=(pa)a,(pb)(pc)p(pa)=aptanA2=ap,进而tanB2tanC2=(pc)(pa)p(pb)(pa)(pb)p(pc)=pap=1tanA2,tanA2(tanB2+tanC2)+tanB2tanC2=1,从而tanB2+tanC2=1,因此tanA2=1tanB2tanC21(tanB2+tanC22)2=34,等号当 B=C 时取得,因此 tanA 的最小值为tan(2arctan34)=247.

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