每日一题[3021]基本放缩

已知函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{x+1}$．

1、求 $f(x)$ 的极值．

2、当 $x>0$ 时，$f(x) \geqslant ax+\ln x+2$，求实数 $a$ 的取值范围．

解析   

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)={\rm e}^{x+1}(x+1),$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 上单调递减，在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=-1$ 处取得极小值 $-1$，没有极大值．

2、根据题意，有

$$\forall x>0,~a\leqslant \dfrac{x{\rm e}^{x+1}-\ln x-2}{x},$$ 而 $$\dfrac{x{\rm e}^{x+1}-\ln x-2}{x}=\dfrac{{\rm e}^{x+1+\ln x}-\ln x-2}{x}\geqslant \dfrac{(x+2+\ln x)-\ln x-2}{x}=1,$$ 等号 $x+1+\ln x=0$ 时取得，因此实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．