每日一题[3013]同构函数

已知函数 $f(x)=|\ln x|+ax+\dfrac ax$（$a>0$），则函数 $f(x)$ 的最小值为_______；若关于 $x$ 的方程 ${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-\left|\dfrac{\ln a-\ln x}{a}\right|-\dfrac ax=0$ 有且仅有一个实数解，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

答案    $0$；$\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$．

解析    根据题意，有

$$f(x)\geqslant 2a,$$ 等号当 $x=1$ 时取得，因此函数 $f(x)$ 的最小值为 $2a$．方程 $${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-\left|\dfrac{\ln a-\ln x}{a}\right|-\dfrac ax=0,$$ 当 $x\in (0,a)$ 时，方程即 $${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-\dfrac 1a\ln\dfrac ax-\dfrac ax=0,$$ 左侧函数单调递增，因此在该区间有唯一零点．当 $x\in [a,+\infty)$ 时，方程即 $$x+a{\rm e}^x+a{\rm e}^{-x}=\ln\dfrac xa+x+\dfrac{a^2}{x},$$ 也即 $$f\left({\rm e}^x\right)=f\left(\dfrac xa\right),$$ 在该区间上 $f(x)$ 单调递增，于是 $$f\left({\rm e}^x\right)=f\left(\dfrac xa\right)\iff {\rm e}^x=\dfrac xa\iff a=\dfrac{x}{{\rm e}^x},$$ 该方程在 $x\in [a,+\infty)$ 上无解，因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$．