每日一题[3003]在劫难逃

已知 a>0,函数 f(x)=(1ax)(ex1)

1、若 a=1,证明:当 x>0 时,f(x)<ln(x+1)

2、若函数 h(x)=ln(x+1)f(x) 存在极小值点 x0,证明:f(x0)0

解析

1、当 a=1 时,有 f(x)=(1x)(ex1),欲证不等式为(1x)(ex1)<ln(x+1),x1 时,不等式显然成立.当 x(0,1) 时,设 g(x)=ln(x+1)(1x)(ex1),则g(x)=1x+1(1x)ex+(ex1)=x(ex1x+1)>x(11x+1)>0,因此 g(x)(0,1) 上单调递增,又 g(0)=0,欲证不等式得证.

2、函数 h(x) 的导函数h(x)=(ax+a1)(ex11+x),讨论分界点为 a=1

情形一    0<a<1.此时函数 h(x) 满足x(1,0)0(0,1a1)1a1(1a1,+)h(x)↗极大值↘极小值↗x0=1a1,于是f(x0)=(1+a)(e1a11)>0,符合题意.

情形二     a=1.此时 h(x)0h(x)(1,+) 上单调递增,没有极小值.

情形三     a>1.此时函数 h(x) 满足x(1,1a1)1a1(1a1,0)0(0,+)h(x)↗极大值↘极小值↗x0=0,于是f(x0)=0,符合题意.

综上所述,命题得证.

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