已知 a>0,函数 f(x)=(1−ax)(ex−1).
1、若 a=1,证明:当 x>0 时,f(x)<ln(x+1).
2、若函数 h(x)=ln(x+1)−f(x) 存在极小值点 x0,证明:f(x0)⩾0.
解析
1、当 a=1 时,有 f(x)=(1−x)(ex−1),欲证不等式为(1−x)(ex−1)<ln(x+1),当 x⩾1 时,不等式显然成立.当 x∈(0,1) 时,设 g(x)=ln(x+1)−(1−x)(ex−1),则g′(x)=1x+1−(1−x)ex+(ex−1)=x(ex−1x+1)>x(1−1x+1)>0,因此 g(x) 在 (0,1) 上单调递增,又 g(0)=0,欲证不等式得证.
2、函数 h(x) 的导函数h′(x)=(ax+a−1)(ex−11+x),讨论分界点为 a=1.
情形一 0<a<1.此时函数 h(x) 满足x(−1,0)0(0,1a−1)1a−1(1a−1,+∞)h(x)极大值
极小值
有 x0=1a−1,于是f(x0)=(1+a)(e1a−1−1)>0,符合题意.
情形二 a=1.此时 h′(x)⩾0,h(x) 在 (−1,+∞) 上单调递增,没有极小值.
情形三 a>1.此时函数 h(x) 满足x(−1,1a−1)1a−1(1a−1,0)0(0,+∞)h(x)极大值
极小值
有 x0=0,于是f(x0)=0,符合题意.
综上所述,命题得证.