每日一题[3002]垂径定理

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，以椭圆 $C$ 的短轴为直径的圆与直线 $y=a x+6$ 相切．

1、求椭圆 $C$ 的标准方程．

2、直线 $l: y=k(x-1)$（$k \neq 0$）与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，过 $C$ 上的点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交线段 $A B$ 于点 $Q$，直线 $O P$ 的斜率为 $k^{\prime}$（$O$ 为坐标原点），$\triangle A P Q$ 的面积为 $S_1$，$\triangle B P Q$ 的面积为 $S_2$，若 $|AP| \cdot S_2=|BP| \cdot S_1$，判断 $k \cdot k^{\prime}$ 是否为定值？并说明理由．

解析

1、根据题意，有 $$\begin{cases} \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 2}2,\\ \dfrac{6}{\sqrt{a^2+1}}=b,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=8,\\ b^2=4,\end{cases}$$ 因此椭圆 $C$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}4=1$．

2、根据题意，有 $$\dfrac{|AP|}{|BP|}=\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{|AQ|}{|BQ|},$$ 根据角平分线定理，$PQ$ 平分 $\angle APB$，直线 $AP$ 与 $BP$ 斜率互为相反数．将椭圆 $C$ 经过伸缩变换 $x'=x$，$y'=\sqrt 2y$ 得到圆 $C':x'^2+y'^2=8$，设 $A,B,P,Q$ 变换后的点分别为 $A',B',P',Q'$，延长 $P'Q'$ 与圆 $C'$ 交于点 $R'$，则直线 $A'P',B'P'$ 的斜率互为相反数，因此 $\angle A'P'R'=\angle B'P'R'$，也即 $R'$ 平分弧 $A'B'$，而根据图形的对称性，直线 $OR'$ 的斜率与直线 $OP'$ 的斜率互为相反数，因此根据圆的垂径定理，有 $$OR'\perp A'B'\implies (-\sqrt 2k')\cdot (\sqrt 2k)=-1\implies k\cdot k'=\dfrac 12,$$ 为定值．