每日一题[2998]一箭双雕

设点 $F$ 是双曲线 $\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}3=1$（$a>0$）的右焦点，过点 $F$ 的直线交双曲线 $C$ 的右支于点 $A,B$，分别交两条渐近线于点 $M,N$，点 $A,M$ 在第一象限，当 $l\perp x$ 轴时，$|AB|=6$．

1、求双曲线的标准方程．

2、若 $|AB|^2=60|AM|\cdot |AN|$，求直线 $l$ 的斜率．

解析

1、当 $l\perp x$ 轴时，$AB$ 为通径，其长度为 $\dfrac{6}{a}=6$，于是 $a=1$，所求双曲线的标准方程为 $x^2-\dfrac{y^2}3=1$．

2、设直线 $l:x=2+my$（$m^2<\dfrac13$），点 $A,B,M,N$ 的纵坐标分别为 $y_1,y_2,y_3,y_4$，则 $y=y_1,y_2$ 是关于 $y$ 的方程

$$\left(m^2-\dfrac 13\right)y^2+4my+3=0$$ 的两个实数解，$y=y_3,y_4$ 是关于 $y$ 的方程 $$\left(m^2-\dfrac 13\right)y^2+4my+4=0$$ 的两个实数解，因此 $$\begin{split} \dfrac{|AB|^2}{|AM|\cdot |AN|}&=\dfrac{|y_1-y_2|^2}{|(y_1-y_3)(y_1-y_4)|}\\ &=\dfrac{|y_1-y_2|^2}{|y_1^2-(y_3+y_4)y_1+y_3y_4|}\\ &=\dfrac{|y_1-y_2|^2}{|y_1^2-(y_1+y_2)y_1+y_3y_4|}\\ &=\dfrac{|y_1-y_2|}{|-y_1y_2+y_3y_4|}\\ &=\dfrac{4m^2+4}{\left(m^2-\dfrac 13\right)^2},\end{split}$$ 结合已知条件解得 $m^2=\dfrac 23$（舍去）或 $m^2=\dfrac{1}{15}$，因此直线 $l$ 的斜率为 $\pm\sqrt{15}$．