每日一题[2997]双公切线

若直线 $y=k_1x+b_1$ 与直线 $y=k_2x+b_2$（$k_1\ne k_2$）是曲线 $y=\ln x$ 的两条切线，也是曲线 $y={\rm e}^x$ 的两条切线，则 $k_1k_2+b_1+b_2$ 的值为（       ）

A．${\rm e}-1$

B．$0$

C．$-1$

D．$\dfrac{1}{\rm e}-1$

答案    C．

解析    曲线 $y=\ln x$ 和曲线 $y={\rm e}^x$ 在 $x=x_0$ 处的切线分别为

$$y=\ln x_0+\dfrac{1}{x_0}(x-x_0),\quad y={\rm e}^{x_0}+{\rm e}^{x_0}(x-x_0),$$ 也即 $$y=(\ln x_0-1)+\dfrac{1}{x_0}x,\quad y={\rm e}^{x_0}(1-x_0)+{\rm e}^{x_0}x.$$ 用 $l(m,n)$ 表示与曲线 $y=\ln x$ 与曲线 $y={\rm e}^x$ 分别相切于点 $(m,\ln m)$ 和 $(n,{\rm e}^n)$ 的直线，则 $$\begin{cases} \ln m-1={\rm e}^n(1-n)=b,\\ \dfrac 1m={\rm e}^n=k,\end{cases}\iff \begin{cases} n=-\ln m,\\ \ln m-\dfrac{m+1}{m-1}=0,\end{cases}$$ 设 $h(x)=\ln x-\dfrac{x+1}{x-1}$，则 $$h\left(\dfrac 1x\right)=\ln\dfrac 1x-\dfrac{\dfrac 1x+1}{\dfrac 1x-1}=-\ln x-\dfrac{1+x}{1-x}=-\left(\ln x-\dfrac{x+1}{x-1}\right)=-h(x),$$ 所以方程 $\ln m-\dfrac{m+1}{m-1}=0$ 的两个实数解 $m=m_1,m_2$ 满足 $m_1m_2=1$，因此 $$k_1k_2+b_1+b_2=\dfrac{1}{m_1}\cdot \dfrac{1}{m_2}+(\ln m_1-1)+(\ln m_2-1)=\dfrac{1}{m_1m_2}+\ln(m_1m_2)-2=-1.$$