每日一题[2993]有限尝试

已知 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的定义域均为 $\mathbb R$，且 $f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)$，$f(-2)=f(1)\ne 0$，$g(-1)=g(2)$，则下列说法正确的有（       ）

A．$g(0)=1$

B．函数 $f(2x-1)$ 的图象关于点 $\left(\dfrac 12,0\right)$ 对称

C．$g(1)+g(-1)=1$

D．若 $f(1)=\dfrac{\sqrt 3}2$，则 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2023}f(k)=\dfrac{\sqrt 3}2$

答案    ABD．

解析    根据题意，有

$$\begin{cases} f(-y)=f(0)g(y)-g(0)f(y),\\ f(x)=f(x)g(0)-g(x)f(0),\\ f(0)=f(x)g(x)-g(x)f(x),\end{cases}\implies \begin{cases} f(0)=0,\\ g(0)=1,\\ f(-x)=-f(x),\end{cases}$$ 而 $$f(2x)=f(x)g(-x)-g(x)f(-x)\implies g(1)+g(-1)=\dfrac{f(2)}{f(1)}=-1,$$ 因此选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ 正确，选项 $\boxed{C}$ 错误． 由于 $$\begin{cases} f(x+1)=g(-1)f(x)+f(1)g(x),\\ f(x-1)=g(1)f(x)-f(1)g(x),\end{cases}$$ 可得 $$f(x+1)+f(x-1)=-f(x),$$ 于是设 $f(-2)=f(1)=a$，则 $$f(k):\underbrace{0,a,-a},\underbrace{0,a,-a},\cdots,$$ 从而 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2023}f(k)=f(1)=\dfrac{\sqrt 3}2$，选项 $\boxed{D}$ 正确．